量子の状態はわからないから状態ベクトルやブロッホ球を使って可視化する

従来のコンピュータでは情報を0と1(電圧の高低)で表現することで計算を行っていました。同様に量子コンピュータも情報を0/1で表現して計算を行います。

量子コンピュータでは情報の0/1を電圧ではなく量子の状態で表現しています。ここで問題となるのは私たちは量子の状態を直接見ることができないということです。

量子は測定した瞬間に状態が確定してしまう不思議な性質を持っています。そのため最終的な計算結果を得る途中の量子状態は知ることは出来ません

しかし計算を行う上で計算過程の量子状態はわからないと困ります。そこで考案されたのが状態ベクトルブロッホ球という考え方です。

状態ベクトルで量子状態を表現

状態ベクトルとは量子計算をベクトルの計算と考えることで、量子力学の法則に従いながら量子状態を数学的に表現したものです。

ベクトル

ベクトルとは大きさと方向を持った量です。方向を持つため普通の数(スカラー)と計算が多少異なります。

例えばxy座標におけるベクトルは下のように表されます。

ベクトル

赤の矢印は大きさが$\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$、方向はx成分が1、y成分が1のベクトルであるといえます。

ベクトルを表す|a>という記法は見慣れないと思いますが、状態ベクトルは慣例的にブラ・ケット記法という棒と不等号で囲ったもので表すと思ってください。

では先ほどのベクトルaに下のようなベクトルbを足してみましょう。

ベクトルの計算

ベクトルの計算は各成分毎に行われるのでベクトルaとベクトルbの和はx成分が2、y成分が0のベクトルとなります。ここが普通の数(スカラー)の計算と大きな違いです。

量子状態は3次元空間でのベクトルで表現すると数学的に都合がいいというわけです。

状態ベクトルは0の状態を|0>、1の状態を|1>と表します。重ね合わせの状態ベクトル$|\psi>$は0、1両方の状態を使って次のように表現します。

$|\psi> = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0> + |1>)$

$1/\sqrt{2}$は状態ベクトルの大きさは1になると量子力学で決められているので、大きさが1となるように調整(規格化)するための係数です。

このように重ね合わせ状態は2状態のベクトルの和で表現することができます。

ブロッホ球は状態ベクトルを可視化

状態ベクトルを導入することで量子状態を数学的に表現することが出来ました。しかし状態ベクトルは数学の行列やテンソルで表されるもので直感的にわかりにくいのが難点です。

そこでブロッホ球という状態ベクトルをグラフ上で表したものを導入することで状態ベクトルを可視化しましょう。

任意の量子状態は0と1の状態の重ね合わせで下のように表すことができます。ここで$\frac{1}{A}$は規格化定数です。

$|\psi> = \frac{1}{A}(|0> + |1>)$

先ほども触れましたが状態ベクトルの大きさは必ず1となります。そのため状態ベクトルは3次元空間上では必ず半径1の球(ブロッホ球面上で表すことができるはずです

球面

ブロッホ球は慣例的にz軸の上端を|0>、下端を|1>とします。つまり状態ベクトル(赤い矢印)がz軸の上方向を指している時は量子状態は純粋に|0>です。

ブロッホ球例1

また状態ベクトルがx軸方向を指している時は量子状態は0と1の重ね合わせで、この状態を測定すると0の状態と1の状態のどちらかが確率50%で観測されます。

ブロッホ球例2

現実世界では測定によって0の状態か1の状態のどちらかのみが観測されますが、ブロッホ球を使うことで直接観測できない重ね合わせ状態を可視化することができるメリットがあります。

ちなみに$theta$は重ね合わせ状態、$pi$は波の位相を表します。

ブロッホ球

ここで注意したいのは状態ベクトルもブロッホ球も量子状態を扱いやすくするために便宜的に考案されたものであって、それ自体に意味はありません。このように表すと都合がいいという風に割り切って大丈夫です。

量子の計算・測定はブロッホ球で考えることができる

量子状態をブロッホ球で表現することで量子の計算や測定をブロッホ球上で表現することができます。

まず量子の計算とは量子状態の変化と考えられるので、ブロッホ球上で状態ベクトルの回転に相当します。計算を行って量子状態が変化しても状態ベクトルが球面上に存在することは変わらないからです。この操作をユニタリ変換といいます。

また量子状態の測定では0の状態か1の状態のどちらかが観測されます。これはブロッホ球上で状態ベクトルのz軸方向の成分を取り出す(射影)操作を行っていると考えることができます。

ただし注意したいのは、実際に測定で得られる結果は毎回変化します。例えば先ほどの例のようにある量子ビットの最終的な状態が$|\psi> = (|0> + |1>)/\sqrt{2}$の場合測定のたびに確率50%で0か1が取り出されます。

量子状態の測定

よって測定結果を得るためには何回も測定を行って答えの傾向を掴む必要があります。

以上量子状態の可視化のための状態ベクトルとブロッホ球の紹介でした。

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