量子の状態はわからないから状態ベクトルやブロッホ球を使って可視化する

私達が普段使っているコンピュータは情報を0と1の組み合わせで表現して扱っています。
量子コンピュータも同様に量子状態を使って情報を0と1で表現しています。

しかし量子状態は見ることができないという不思議な性質を持っています。量子状態を観測してしまうと情報が壊れてしまうのです。

しかし量子コンピュータで計算を行う上で計算途中の量子状態が把握できないのは都合が悪いです。そこで量子状態を数学的に可視化しようと考案されたのが状態ベクトルブロッホ球という考え方です。

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状態ベクトルで量子状態を表現

状態ベクトルとは量子計算をベクトルの計算と考えることで、量子力学の法則に従いながら量子状態を数学的に表現したものです。

ベクトル

ベクトルとは大きさと方向を持った量です。方向を持つため普通の数(スカラー)と計算が多少異なります。

例えば$xy$座標におけるベクトルは下のように表されます。

ベクトル

赤の矢印は大きさが$\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$、方向はx成分が1、y成分が1のベクトルであるといえます。

ベクトルを表す$|a\rangle$という記法は見慣れないと思いますが、状態ベクトルは慣例的にブラ・ケット記法という記法で表すと思ってください。

では先ほどのベクトル$|a\rangle$に下のようなベクトル$|b\rangle$を足してみましょう。

ベクトルの計算

ベクトルの計算は各成分毎に行われるのでベクトル$|a\rangle$とベクトル$|b\rangle$の和はx成分が2、y成分が0のベクトルとなります。ここが普通の数(スカラー)の計算と大きな違いです。

量子状態は3次元空間でのベクトルで表現すると数学的に都合がいいというわけです。

状態ベクトルは0の状態を$|0\rangle$、1の状態を$|1\rangle$と表します。重ね合わせの状態ベクトル$|\psi\rangle$は0、1両方の状態を使って次のように表現します。

$|\psi> = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

係数の$1/\sqrt{2}$は状態ベクトルの大きさは1であると量子力学で決められているので、大きさが1となるように規格化するための係数です。各状態の係数の2乗はその状態が観測される確率を表すため、全状態の確率和が1となるように取り決めるのは自然なことですね。

このように重ね合わせ状態は2状態のベクトルの和で表現することができます。

ブロッホ球は状態ベクトルを可視化

状態ベクトルを導入することで量子状態を数学的に表現することが出来ました。しかし状態ベクトルは数学の行列やテンソルで表されるもので直感的に量子状態を把握しづらいのが難点です。

そこでブロッホ球という状態ベクトルを3次元球上で表したものを導入することで状態ベクトルを可視化していきます。

任意の量子状態は0と1の状態の重ね合わせで下のように表すことができます。

$|\psi> = a|0\rangle + b|1\rangle$

ここで各係数の和は必ず1であるので上の式はパラメータ$\theta, \phi$を導入して次のように書き換えることが出来ます。

$|\psi(\theta, \phi)> = \cos \frac{\theta}{2}|0\rangle +e^{i\phi} \sin \frac{\theta}{2} |1\rangle$

これは量子状態を数学的に3次元球上で表現することが出来ることを表しています。

ブロッホ球

ブロッホ球は慣例的にz軸の上端を$|0\rangle$、下端を$|1\rangle$とします。つまz軸の上方向を指している時は量子状態は純粋に$|0\rangle$です。

ブロッホ球例1

x軸方向を指している時は量子状態は0と1の重ね合わせで、この状態を測定すると0の状態と1の状態のどちらかが確率50%で観測されます。この時は$\theta=\pi/2, \phi=0$です。

ブロッホ球例2

現実には量子状態を測定すると状態が壊れて0の状態か1の状態に確定してしまいますが、ブロッホ球を使うことで量子状態を可視化して追跡することができるメリットがあります。

状態ベクトルやブロッホ球は量子状態を扱いやすくするために便宜的に考案されたものであって、球が物理的に意味があるわけではありません。このように表すと都合がいいという風に割り切って大丈夫です。

量子の計算・測定はブロッホ球で考えることができる

量子状態をブロッホ球で表現することで量子の計算や測定をブロッホ球上で考えることができます。

まず量子の計算とは量子状態の変化と考えられるので、ブロッホ球上で状態ベクトルの回転に相当します。計算を行って量子状態が変化しても状態が球面上のどこかを指すことは変わらないからです。この操作をユニタリ変換といいます。

また量子状態の測定をすることで0か1の状態のどちらかが観測されます。これはブロッホ球上で状態ベクトルのz軸方向の成分を取り出す射影操作を行っていると考えることができます。

ただし注意したいのは、実際に測定で得られる結果は毎回変化します。例えば先ほどの例のようにある最終的な量子状態が$|\psi> = (|0\rangle + |1\rangle)/\sqrt{2}$の場合測定のたびに確率50%で0か1が取り出されることになります。

量子状態の測定

以上量子状態の可視化のための状態ベクトルとブロッホ球の紹介でした。

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